Uwe Lück übt

Letzte Änderung 2010-02-15
NEU:
– Bemerkungen zur Korrektur (Aufgaben 34, 35, 38)
– ε-δ-Kriterium mit Beweis
– Lösung zu ÜA 50 (d) alternativ
– Tutoriumsnachträge III geteilt
– Tutoriumsnachträge II umgeordnet
– Korrektur abgeschlossen
– T51 + T52 verbessert u. a. zum 13. Tutorium
(zu T52 (c) gab es einen kleinen Schreibfehler!)
und weitere Ergänzungen zur Vorlesung

SoSe’09: Diskrete Strukturen – WiSe’09/10: Analysis
–
Nachträge zum Tutorium – Bemerkungen zur Korrektur

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Übungsleiter/Korrektor: Im Wintersemester 2009/10 habe ich eine eine Übungsgruppe (ein „Tutorium“) für die Vorlesung Analysis für Informatiker und Statistiker von Dr. Walter Spann am Mathematischen Institut der LMU München abgehalten ( hier mehr Infos zur Vorlesung). Außerdem war ich einer von mehreren Korrektoren für die Übungsblätter (ich korrigiere in rot und zeichne mit „U. L.“).

Nachträge und Korrekturen zum Tutorium:

• 13. Tutorium (2010-02-05): PDF (AISnach4.pdf, 221 KiB; Zwischenwertsatz, spezielle Ableitungen, Alternative zu Übungsaufgabe 50 (d), Monotonie, Funktionsgrenzwerte, ε-δ-Kriterium mit Beweis)
• 9./10./11. Tutorium (2010-01-08, 2010-01-15, 2010-01-22 T44): PDF (AISnach3.pdf, 213 KiB; Potenz/Wurzel, exp, allgemeine Potenz und Logarithmus, Reihen, Quotientenkriterium)
• 5./6./7./8. Tutorium (2009-11-27, 2009-12-04, 2009-12-11, 2009-12-18) – PDF (AISnach2.pdf, 259 KiB; Transitivität und Antisymmetrie von ≤ etc., Wurzelfunktionen nicht lipschitzstetig, Zusammenhang mit Archimedischem Axiom, Aufgaben 24–29; Aufgabe 32: arithmet./geometr. Mittel)
• Quantoren und geordnete Paaren (PDF, 170 KiB)

Bemerkungen zur Korrektur von Übungsblättern: Tut mir leid, ich war um Wochen mit dem Korrigieren in Verzug. Montag, 2010-02-08, habe ich die Korrekturen zu Blatt 8 zurückgelegt, usw. – letzte Bearbeitung zurückgelegt heute (Freitag) ca. 17 Uhr 30. (Ich hatte die Fortschritte hier melden wollen, aber freemail.WEB.DE verschluckt seit einer Woche HTML-Anhänge …)

Schwierigkeiten: Beim Bearbeiten der Übungsblätter geht manches schief, die Übung ist zu kurz, um darauf immer noch mal eingehen zu können – also hier: immer dieselben Fehler, die uns Korrektoren auffallen. 2010-02-10: Nun ja, es sind wohl nur ein paar, die sich nicht davon abbringen lassen! (Zu einzelnen Aufgaben: 5 · 7 · 9 · 11 · 12 · 13 · 18 · 34 · 35 · 38)

• Nicht in der Vorlesung hergeleitete Rechenregeln (bzw. „Rechenregeln“) sind praktisch immer falsch (z. B. das „universelle Distributivgesetz“).
• „Keine Aussage“ merke ich oft an („Syntaxfehler“). Folgerungsbeziehungen (⇔, ⇒) bestehen nur zwischen Aussagen, nicht zwischen Mengen. Dass x Element einer Menge ist (x∈A), ist eine Aussage. Wenn man dann aber wieder versucht, Aussagen mittels des entsprechenden Mengensymbols (∪) zu „vereinigen“ („x∈A ∪ x∈B ⇔ x∈A ∨ x∈B“), ist es einmal mehr keine Aussage. Ohne Aussagen kein Beweis. Allerdings:
• Eine Liste von Formeln ist (noch) kein Beweis. Es muss erkennbar sein, wie argumentiert wird, z. B. dass die Formeln als äquivalent oder als Folgerungen auseinander betrachtet werden, so dass sich die Behauptung aus vorausgesetzten Aussagen ergibt. – (Außerdem lässt die Bearbeitung manchmal nicht erkennen, ob eine Formel als Ergebnis oder Zwischenergebnis gedacht ist – oder ob man erst überlegt, ob die Formel eine zutreffende Aussage darstellt, wovon das abhängt, o. ä. …). – (Aufgabe 18:) In einem Beweis von „min(a,b) ≤ …“ sollte irgendwo „min(a,b)“ vorkommen …
• Variablen bei Funktionen (Aufgaben 9 und 11):
  • Generell erhält ein Ausdruck, der eine Variable enthält, erst durch eine begleitende Erklärung Sinn, etwa: „für alle x im Definitionsbereich gilt …“ oder „Sei x ein … mit der Eigenschaft …“ „Kurzstil“: Bei der Bearbeitung und an der Tafel kann man eine solche Erklärung oft weglassen, der Zusammenhang macht dann z. B. „für alle…“ klar – aber Fehlergefahr …
  • Aufgaben 9 und 11: Sind f und g Funktionen, so ist f o g eine Funktion (falls Wert-/Definitionsbereich passen).
    • Falsch daher: „∀x∈X: f o g = f(g(x)))“ (Verwechslung von Funktion und Funktionswert). Richtig: „(f o g)(x) = f(g(x))).“
    • Falsch auch: „(f o g)(x) = f(g(x₁,x₂)))“ (es sei denn, man hat „x = (x₁,x₂)“ erklärt). Richtig: „(f o g)(x₁,x₂) = f(g(x₁,x₂))).“
    • Aufgaben 11/35:
      • „id_X“ ist praktisch immer falsch, „X“ muss durch den Definitionsbereich von f bzw. g ersetzt werden.
      • Nicht: „(x₁,x₂) = id_X×X“, sondern: (x₁,x₂) = id_X×X(x₁,x₂).
      • „g(y) = x“ ist keine Erklärung einer Funktion, falls nicht begleitend eine Bestimmung von x aus y angegeben wird (z. B. „wobei x = …“).
      • Etwas anderes zu Aufgabe 11 unten.
  • Die Wikipedia erklärt verschiedene Bedeutungen von „Variable“, der Artikel Variable (Logik) erklärt die hier relevanten Bedeutungen.

Weitere Hinweise zu zurückliegenden Übungsblättern:

• Aufgabe 11: Wenn ohnehin Bestimmung der Umkehrfunktion gefordert ist, ist es ungeschickt, deren Existenz durch den Nachweis von Injektivität und Surjektivität anhand der Definitionen letzterer zu zeigen. Es genügt, die Umkehrfunktion anzugeben und zu zeigen, dass es sich tatsächlich um die Umkehrfunktion im Sinne von 0.24 der Vorlesung handelt. (Genau genommen muss man nicht einmal erklären, wie man die Umkehrabbildung gefunden hat.)
• Aufgabe 34a: Oft wurde so getan, als gelte „x ≥ b ⇒ x+(a/x) ≥ b+(a/b)“. Gegenbeispiel: Falls b = 1/x, ist „x+(a/x) ≥ b+(a/b)“ äquivalent zu „(1-a)[x-(1/x)] ≥ 0“, und die letztere Ungleichung gilt für a ≥ 1 ≤ x gerade nicht. Stattdessen war die Ungleichung vom algebraischen/geometrischen Mittel (Übungsaufgabe 32) anzuwenden.
• Aufgabe 38: Die Voraussetzung a_n ≥ 0 ≤ b_n war wesentlich.


© 2009, 2010 Uwe Lück

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Diskrete Strukturen

Im Sommersemester 2009 hielt ich eine Übungsgruppe für die Vorlesung Diskrete Strukturen von Prof. Wilfried Buchholz am Mathematischen Institut der LMU München ab – hier meine geTeXten Übungsvorbereitungen (PDF, 380 KiB).

Das ging teilweise weit über das hinaus, was ich in der Übung tatsächlich vortragen konnte (siehe rote Anmerkungen), z. B. alternative Lösungen. Andererseits verhasple ich mich manchmal an der Tafel, und dann ist vielleicht das hier klarer …

Tut mir leid, ich habe seit Juli 2009 die angekündigte Überarbeitung des Texts nicht mehr gepackt. Stattdessen habe ich hier (PDF, 53 KiB) eine Erläuterung von Prof. Buchholz’ Musterlösung zu Aufgabe 3 der Nachholklausur vom 2. November 2009.

Weitere Informationen zur Vorlesung findet man hier – vielleicht außer Prof. Buchholz’ Lösungen zu Blatt 9 und Blatt 10.

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